Geometric Product for Multidimensional Dynamical Systems - Laplace Transform and Geometric Algebra

Abstract

This contribution describes a new approach to a solution of multidimensional dynamical systems using the Laplace transform and geometrical product, i.e. using inner product (dot product, scalar product) and outer product (extended cross-product). It leads to a linear system of equations Ax=0 or Ax=b which is equivalent to the outer product if the projective extension of the Euclidean system and the principle of duality are used. The paper explores property of the geometrical product in the frame of multidimensional dynamical systems. The proposed approach enables to avoid division operation and extents numerical precision as well. It also offers applications of matrix-vector and vector-vector operations in symbolic manipulation, which can lead to new algorithms and/or new formula. The proposed approach can be applied also for stability evaluation of dynamical systems. In the case of numerical computation, it supports vector operation and SSE instructions or GPU can be used efficiently.

Tento příspěvek popisuje nový přístup k řešení vícerozměrných dynamických systémů pomocí Laplaceovy transformace a geometrického produktu, tj. Pomocí vnitřního produktu (dot produkt, skalární produkt) a vnějšího produktu (rozšířený křížový produkt). To vede k lineární soustavě rovnic Ax = 0 nebo Ax = b, která je ekvivalentní vnějšímu produktu, pokud je použito projektivní rozšíření euklidovského systému a princip duality. Článek zkoumá vlastnosti geometrického produktu v rámci vícerozměrných dynamických systémů. Navržený přístup umožňuje vyhnout se dělení operací a také rozsah numerické přesnosti. Nabízí také aplikace maticových a vektorových operací při symbolické manipulaci, což může vést k novým algoritmům nebo novému vzorci. Navrhovaný přístup lze použít také pro hodnocení stability dynamických systémů. V případě numerického výpočtu podporuje vektorovou operaci a lze efektivně využívat instrukce SSE nebo GPU.